第五十九章 让人满意的学生 (第2/2页)
　　
　　“现在是下午两点零七分，六点零七分，我来收卷。”
　　
　　他站起来，从椅背上拿起一件深棕色的旧西装外套，穿在身上。
　　
　　“我去系里开个会，四个小时后回来。”
　　
　　他走到门口，转过身。
　　
　　“你可以用我的书柜，任何一本书，也可以用电脑查资料，这是开卷考试。”
　　
　　杰罗教授顿了顿，他刚想说……但你不能问任何人。包括手机里的任何人。
　　
　　但是他看着林安一眼，想了想，如果后者打电话找人询问就能解开第四道题，那就有点太小瞧自己了。
　　
　　算了，这事情没必要提。
　　
　　林安点了一下头，杰罗教授便推门出去了。
　　
　　办公室里安静下来。
　　
　　林安把打印纸重新翻开，四道题摊在桌面上，既是方便自己读一遍，也是方便弹幕老爷来看。
　　
　　读完之后，林安心里有数了，第一道和第二道题，他能做，而第三道以后，就摸不着头脑了。
　　
　　理清楚思路后，他没有开始做题，而是走到书柜前。
　　
　　杰罗教授的书柜占据了整整一面墙，从地板到天花板，一共八层。
　　
　　书籍按照主题分类，包括随机分析、偏微分方程、数值方法、金融建模、风险管理、时间序列、优化理论等，每一层架子的书脊下方都贴着手写标签。
　　
　　林安的目光从书脊上扫过去，在某些书名上停一下，然后移开，让弹幕老爷们确认杰罗教授的知识体系是怎么搭建的。
　　
　　确认完之后，他回到桌前，拿起笔。
　　
　　第一道题，随机微积分，伊藤引理，测度变换，吉尔萨诺夫定理。
　　
　　他的笔尖落在纸上，开始写。
　　
　　四十分钟后，第一道题写完了，林安活动了一下手腕，开始做第二道题。
　　
　　自由边界问题，美式期权定价的偏微分方程框架。
　　
　　林安的笔速比第一道题快了一些。
　　
　　第二道题做完的时候，时间过去了两个小时。
　　
　　窗外的阳光从白色变成了淡金色，从窗户的另外一侧照进来，在地板上投下了新的光斑。
　　
　　林安没有急着做第三道题，而是让弹幕老爷们先看一下，确定这两道题自己答得没有大毛病，只有一些小问题需要修改一下后，林安就淡定下来了。
　　
　　而第三道以后，林安就得靠弹幕老爷指点了。
　　
　　弹幕开始热闹起来。
　　
　　【第三道题我来，蒙特卡洛方差缩减，控制变量法和对偶变量法，这玩意儿我博士论文就做的这个】
　　
　　【控制变量那部分的希腊字母选择要注意……】
　　
　　【对偶变量法简单，直接取反路径就行，但是题目里有个陷阱，他给的随机数生成器是Sobol序列，低差异序列的对偶变量需要重新构造】
　　
　　【操，Sobol序列的对偶？这个我没做过】
　　
　　【用1减去每个维度的值就行，Sobol序列是[0，1]区间均匀分布，对偶就是1-x】
　　
　　【但是高维Sobol序列的对偶会破坏低差异性质，方差缩减效果会打折扣】
　　
　　【题目问的就是这个，为什么打折扣？怎么修正？】
　　
　　【修正方法是用Brownian桥重新构造路径顺序，把最重要的维度放在前面，对偶只对前几个维度做】
　　
　　【对，这个在2005年Glasserman那本书里有讲……】
　　
　　【书架上有没有这本书？】
　　
　　林安站起来，走到书柜前，他的目光从那些书脊上扫过，弹幕老爷们也在帮他一起找。
　　
　　【第三层，左边，深蓝色封皮那本】
　　
　　【对，就是那本，Glasserman】
　　
　　林安抽出那本书，翻开目录，找到第五章，回到桌前，他把书摊开放在一边，开始写第三道题。
　　
　　第三道题的计算量很大，蒙特卡洛模拟的方差缩减，涉及到控制变量和对偶变量两种方法的对比，还需要分析为什么在高维Sobol序列中对偶变量法的效果会打折扣。
　　
　　林安的笔速不快，但很稳，每一个步骤都写得清楚。
　　
　　弹幕在帮他校核。
　　
　　【控制变量的系数算错了，应该……】
　　
　　【路径数你设的是N=10000？题目要求的是95%置信区间宽度不超过0.01，你算一下需要多少路径】
　　
　　【我来算……大概需要四万条路径，10000不够】
　　
　　【对，而且Sobol序列要求路径数是2的幂次，所以应该是65536条】
　　
　　【65536条路径，用对偶变量法等效成131072条，方差减半，置信区间宽度除以根号2，刚好够】
　　
　　林安停了一下，把之前写的数字划掉，重新计算。
　　
　　第三道题做完的时候，时间过去了三个小时。
　　
　　窗外的阳光从淡金色变成了更深的琥珀色，在地板上投下了长长的光影。
　　
　　林安活动了一下有些发酸的手腕，把第三道题的答案整理好，放在一边。
　　
　　三道题的答案加起来已经写了密密麻麻的六页纸。
　　
　　然后他看向第四道题。
　　
　　题目只有三行字。
　　
　　+考虑一个带跳跃过程的美式期权定价问题。
　　
　　标的资产服从Merton跳跃扩散模型，跳跃幅度服从对数正态分布。
　　
　　请提出一个可行的数值定价框架，并讨论提前执行边界的性质。+
　　
　　三行字。
　　
　　没有参数，没有边界条件，没有具体的期权条款，就是这三行字。
　　
　　这下子，林安是真没招了，只能完全靠弹幕老爷了。
　　
　　【操，这题也太开放了】
　　
　　【Merton跳跃扩散模型加美式期权，2009年确实没有解析解】
　　
　　【不仅没有解析解，连成熟的数值方法都没有，LSM算法是2001年提出的，但那是针对纯扩散模型的，带跳的LSM要到2010年以后才有系统研究】
　　
　　【所以教授说这道题是超纲的，他不是要学生做出来，是要看学生能不能找到正确的研究方向】
　　
　　【方向是什么？】
　　
　　【等着，我这就去找老登，让他帮忙】
　　
　　【什么老登能帮忙？】
　　
　　【就是我这边世界的罗伯特·杰罗】
　　
　　【这好吗？】
　　
　　【有什么不好，我这边的老登先是因为山火，把在洛杉矶的老家给烧了，接着是金毛股神乱来，把他的养老金给干没了，然后是……】
　　
　　【总之，他破产了，被美国斩杀了，我拉他一把，现在老登在国内当教授，我是他的助教，让他帮个忙怎么了】
　　
　　看到这里，林安把题目摊在桌面上，没有急着动手。
　　
　　【我去问老登了，他正在上课，得等下课】
　　
　　【行，那我们先帮主播把前三道题的细节再过一遍】
　　
　　【第一道题伊藤引理的应用，有个地方需要注意，测度变换的时候，漂移项的符号……】
　　
　　【第三道题路径数……】
　　
　　弹幕老爷们把前三道题从头到尾又过了一遍，找出三个小问题：一个积分符号的上下限写反了，一个希腊字母的下标漏了，还有一个地方的假设条件没有明确写出来。
　　
　　林安一一改过来。
　　
　　改完之后，他靠在椅背上，活动了一下脖子。
　　
　　第四道题还摊在桌面上，三行字，像三堵墙。
　　
　　【老登下课了，我把题给他看了】
　　
　　弹幕突然炸了一下。
　　
　　【他怎么说？】
　　
　　【他没直接说答案，他说这个题他出过很多年，每年都换一个变体】
　　
　　【那这个变体怎么做？】
　　
　　【他说，这道题的关键不在于“解”，在于“框架”，Merton跳跃扩散模型加美式期权，2009年确实没有成熟的数值方法，但如果能把问题拆成三部分，就能给出一套可行的框架】
　　
　　【哪三部分？】
　　
　　【第一，用傅里叶变换处理跳跃部分，……】
　　
　　【第二，美式期权的提前执行特征，用最小二乘蒙特卡洛……】
　　
　　【第三，提前执行边界的性质……】
　　
　　【老登说，他出这道题的目的，就是看学生能不能意识到这三部分之间的关系】
　　
　　【能写出这个框架的学生，说明他已经具备了独立做研究的能力，不是只会套公式】
　　
　　【操，这也太难了】
　　
　　【老登还说了什么？】
　　
　　【他还说，这道题他每年都出，每年都没有人能在四个小时内做出来，做得最好的一个学生，用了三天，写了一个大概的框架，后来那个学生去了高盛，现在是MD了】
　　
　　【老登问，是谁在做这道题？】
　　
　　【你怎么说的？】
　　
　　【我说是一个朋友，他在做你09年的题，然后他说了一句话】
　　
　　【什么话？】
　　
　　【他说，“第四道题不用写完整的答案，写出框架和思路就可以，因为做题者到这一步，已经证明了自己。”】
　　
　　【什么意思？】
　　
　　【字面意思】
　　
　　林安看着弹幕，嘴角微微翘了一下。
　　
　　他没有说话，拿起笔，开始抄第四道题的答案。
　　
　　他抄了大概四页纸，不多，但每一个段落都踩在最关键的点上。
　　
　　写完最后一个字的时候，门外响起了脚步声。
　　
　　林安看了一眼时间……五点五十三分。
　　
　　他还有七分钟。
　　
　　他把四道题的答案按照顺序整理好，第一道题三页，第二道题两页，第三道题四页，第四道题四页，加起来十三页纸，整齐地叠放在桌面上。
　　
　　钢笔的墨水还剩小半管。
　　
　　他把笔帽拧上，放在答案旁边。
　　
　　门被推开了。
　　
　　杰罗教授走进来，走到办公桌前，把保温杯放下，看了一眼桌上那叠整整齐齐的答案，又看了一眼林安。
　　
　　“做完了？”
　　
　　“做完了。”
　　
　　杰罗教授坐下来，摘下老花镜，用袖口擦了擦镜片，重新戴上，他拿起那叠答案，从第一页开始看。
　　
　　办公室里安静极了。
　　
　　杰罗教授看得很慢。
　　
　　他看第一道题的时候，嘴角微微动了一下。
　　
　　第二道题，他的眉毛抬了一下。
　　
　　翻到第三道题的时候，他停了下来。
　　
　　他看着林安写在答案后面的Sobol序列伪代码，看了大概两分钟，然后他把这一页抽出来，单独放在一边。
　　
　　林安没有说话。
　　
　　杰罗教授继续翻到第四道题。
　　
　　他看到第一页的时候，身体微微前倾了一点。
　　
　　看到第二页的框架描述时，他的手指在桌面上轻轻敲了一下。
　　
　　看到第三页那个锯齿状提前执行边界的草图时，他的手指停住了。
　　
　　罗杰把第四道题的四页纸从头到尾看了两遍，然后他把整份答案合上，放在桌面上，摘下老花镜，用两根手指揉了揉鼻梁。
　　
　　“四个小时，你把前三道题做完了，第四道题居然还写出了这个框架。”
　　
　　教授的声音有点惊讶，他把老花镜重新戴上，看着林安，眼睛里无比的欣赏。
　　
　　“你是怎么想到用傅里叶变换处理跳跃项的？”
　　
　　“Merton模型的特点是对数价格的特征函数有封闭形式。”
　　
　　林安说。
　　
　　“跳跃扩散过程的特征函数是纯扩散部分和跳跃部分的乘积。既然特征函数是封闭的，傅里叶变换就是最自然的工具。”
　　
　　杰罗教授点了一下头，没有说对，也没有说错。
　　
　　“那最小二乘蒙特卡洛的扩展呢？Longstaff-Schwartz的原始论文只处理了纯扩散模型，你怎么知道可以把跳跃项作为控制变量加进去？”
　　
　　林安沉默了一秒。
　　
　　“因为跳跃项是一个低方差的增量。”
　　
　　他说。
　　
　　“在蒙特卡洛模拟里，任何能被解析表达的部分，都不应该被抽样。
　　
　　跳跃的发生时间服从泊松过程，跳跃幅度服从对数正态分布，这两个部分都可以用解析公式计算条件期望。
　　
　　把它们作为控制变量，可以让LSM的回归只聚焦在扩散部分的非线性上。”
　　
　　杰罗教授的手指在桌面上轻轻敲了两下。
　　
　　“这个思路，你在哪里看到的？”
　　
　　“我自己想的。”
　　
　　这是一个谎言。
　　
　　但这个谎言，没有人能戳穿，因为这个思路来自另一个世界里的罗伯特·杰罗教授本人。
　　
　　杰罗教授看着林安，嘴角翘起。
　　
　　“你最近几天有空吗？”